SISTEM BILANGAN

BAB I

Sistem Bilangan

1.1 Sistem Bilangan Biner

Sistem bilangan merupakan suatu kode yang menggunakan simbol untuk menyatakan besar sesuatu. Sistem bilangan yang kita gunakan sehari-hari adalah bilangan desimal, yakni dari 0 hingga 9. Peralatan digital hanya mengenal dua jenis sinyal, yaitu  tinggi dan rendah. Sinyal tinggi disimbolkan 1 dan sinyal rendah disimbolkan 0. Penggunaan simbol 0 dan 1 dikenal dengan sistem  biner.

 Pencacahan bola-bola berikut ini dinyatakan dalam sistem desimal dan biner:

Gambar 2.1.Mencacah jumlah bola dinyatakan dalam bilangan desimal dan biner

Peralatan digital hanya mengenal bilangan digital, sedangkan kita terbisa menggunakan bilangan desimal, agar kita dapat berkomunikasi dengan alat maka harus diketahui konversi antara dua sistem bilangan tersebut. Bagaimana mengkonversi sistem bilangan desimal menjadi biner?

Misal angka desimal 17 diubah menjadi biner:

            17 : 2 = 8; sisa 1

              8 : 2 = 4; sisa 0

              4 : 2 = 2; sisa 0

              2 : 2 = 1; sisa 0

              1 : 2 = 0; sisa 1

Bilangan biner ditulis menurut arah panah, jadi 17 _desimal = 10001_biner

Bagaimana mengubah sistem biner ke desimal?

125 _desimal = 1 ratusan, 2 puluhan, 5 satuan

125              = 1 x 10² + 2 x 10¹ + 5 x 10⁰

Urutan bilangan pada biner juga memiliki bobot yang analog dengan desimal, yakni

110011 biner = 1 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 51_desimal

1.2 Sistem bilangan Heksadesimal

            Sistem bilangan heksa desimal menggunakan 16 simbol, yaitu 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F.

Desimal	Biner	Heksadesimal	Desimal	Biner	Heksadesimal
0	0000	0	9	1001	9
1	0001	1	10	1010	A
2	0010	2	11	1011	B
3	0011	3	12	1100	C
4	0100	4	13	1101	D
5	0101	5	14	1110	E
6	0110	6	15	1111	F
7	0111	7	16	10000	10
8	1000	8	17	10001	11

Tabel 2.1 Ekivalensi biner dan heksadesimal

Kelebihan sistem heksadesimal adalah ialah mampu mengubah secara langsung dari bilangan biner 4 bit. Sebagai contoh, heksadesimal F merupakan singkatan dari bilangan biner empat bit 1111. Notasi heksadesimal khususnya digunakan untuk menyatakan bilangan biner. Untuk mengkonversi heksadesimal, misalnya A6 menjadi biner, dapat kita lihat  A=1010_biner dan 6 = 0110_biner , maka A6 =10100110_biner. Jadi heksadesimal ekivalen dengan biner. Notasi heksadesimal digunakan secara luas dalam sistem yang berdasarkan mikroprosesor untuk menyatakan biner 8 bit, 16 bit atau32 bit.

Bagaimana mengkonversi heksadesimal ke bilangan desimal?

Sama halnya bilangan desimal, maka urutan angka pada heksadesimal juga memiliki nilai masing-masing. Contoh   C24₁₆ = 12 x 16² + 2 x 16¹ + 4 x 16⁰ = 3108₁₀ (desimal)

Bagaimana mengkonversi desimal ke heksadesimal?

Contoh bilangan desimal 3108₁₀ akan dinyatakan ke heksadesimal:

            3108 : 16 = 194; sisa 4

              194 : 16 = 12 ; sisa 2

                12 : 16 = 0; sisa 12

Jadi 3108₁₀ = C24₁₆    (perhatkan bahwa 12 = A).

2.3 Bilangan Oktal

Pada sistem komputer jaman dahulu, informasi biner dinyatakan dengan menggunakan bilangan oktal. Sistem bilangan oktal menggunakan delapan simbol, yaitu 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7.

Desimal	Biner	Oktal
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	001 000	10
9	001 001	11
dst

Tabel 2.2 Ekivalensi biner dengan bilangan oktal

Perhatikan bahwa bilangan biner 3 bit diwakili/disingkat 1 bit bilangan oktal.

Teknik mengkonversi bilangan desimal ke oktal dan sebaliknya analog dengan cara-cara sebelumnya.

Kita umumnya bekerja dengan sistem desimal, sedangkan peralatan digital bekerja berdasarkan sinyal digital/biner. Untuk berinteraksi kita dengan peralatan digital digunakan alat pengkonversi. Peralatan elektronik yang mengkonversi/menterjemah bilangan desimal ke bilangan biner disebut pengkoder (encoder) dan yang menterjemah dari bilangan biner ke desimal disebit pendekoder (decoder).

BAB II

GERBANG LOGIKA BINER

Komputer, kalkulator, dan peralatan digital lain kadang-kadang dianggap orang awam sebagai sesuatu yang ajaib. Sebenarnya, peralatan elektronika digital logis dalam operasinya. Bentuk dasar blok operasi setiap rangkaian digital adalah suatu gerbang logika.  Gerbang logika terdiri dari: AND, NAND, NOT, OR, NOR, XOR, dan XNOR.

2.1 Gerbang AND

            Gerbang AND yang berarti DAN, secara fisik diilustrasikan gambar 3.1:

Gambar 3.1 Ilustrasi fisis rangkaian AND dengan sakalar yang disusun seri

Rangkaian pada Gb 3.1 dapat di tinjau menjadi bagian input dan output. Bagian input berupa sakelar A dan B, sedangkan output berupa bola lampu. Berdasarkan rangkaian sederhana di atas jelas prinsip kerja gerbang logika AND dapat diamati hasilnya seperti tabel berikut:

No	Keadaan saklar   A                        B	Keadaan lampu
1	Buka                Buka	Mati
2	Buka               Tutup	Mati
3	Tutup               Buka	Mati
4	Tutup               Tutup	Nyala

            Tabel 3.1 Rangkaian sakalar seri bekerja seperti gerbang logika AND.

Gerbang logika AND memiliki dua atau lebih terminal input dan satu terminal output, dan disimbolkan disimbolkan:

Gambar 3.2 Simbol gerbang AND

Rangkaian gerbang AND praktis tampak pada gambar 3.3 yang memiliki dua input A dan B. Saklar bila dikontakkan ke (+) berarti TINGGI, dan bila dikontakkan ke (-) berarti RENDAH. Output gerbang AND diberikan indikator LED, yang menyala jika ouput TINGGI dan tidak menyala jika output RENDAH.

Gambar 3.3 Rangkaian gerbang AND

INPUT				OUTPUT
B		A		Y
Tegangan	Biner	Tegangan	Biner	Menyala	Biner
RENDAH	0	RENDAH	0	Tidak	0
RENDAH	0	TINGGI	1	Tidak	0
TINGGI	1	RENDAH	0	Tidak	0
TINGGI	1	TINGGI	1	Ya	1

Tabel 3.2 Tabel kebenaran gerbang AND

Hubungan input dan output suatu dari suatu gerbang lgika selanjutnya ditulis dalam suatu pernyataan yang disebut ekspresi Boolean atau aljabar Bool. Gerbang logika AND dengan input A dan B serta output Y, diungkapakan sebagai

A.B = Y

2.2 Gerbang OR

Gerbang OR secara fisis dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Gambar 3.4 Rangkaian  OR dengan skalar yang dirangkai paralel

Rangkaian pada gambar 3.4 akan memberikan hubungan input dan output seperti tabel:

INPUT				OUTPUT
B		A		Y
Saklar	Biner	Saklar	Biner	Menyala	Biner
Terbuka	0	Terbuka	0	Tidak	0
Terbuka	0	Tertutup	1	Ya	1
Tertutup	1	Terbuka	0	Ya	1
Tertutup	1	Tertutup	1	Ya	1

Tabel 3.2 Tabel kebenaran gerbang OR

Gerbang OR disimbolkan

A + B = Y

Gamabar 3.5 Simbol logika gerbang OR dan operasi Boolean,

                                           (+) merupakan simbol OR

2.3 Pembalik dan penyangga

Gerbang logika umumnya memiliki dua atau lebih input dan satu output, namun gerbang NOT (“tidak”) hanya mempunyai satu input dan satu output. Gerbang NOT berfungsi sebagai pembalik /inverter, yaitu output merupakan kebalikan input. Simbol gerbang NOT adalah:

INPUT A	OUTPUT Y
0	1
1	0

Gambar 3.6 Simbol logika, ekspresi Boolean, dan tabel kebenaran suatu pembalik

Bila logis 1 diberikan pada input A, akan diperoleh output yang berlawanan yaitu 0 pada Y. Kita katakan bahwa pembalik mengkomplemenkan  input. Perhatikan bahwa strip (¾) merupakan simbol pembalikan.

            Bagaimana jika pembalikan dilakukan dua kali?

Pembalik ganda menghasilkan output sama dengan inputnya, lalu apa gunanya? Pembalik ganda berfungsi sebagai buffer/driver atau penyangga atau pengendali. Penyangga tidak digunakan dalam operasi logika, tetapi digunakan untuk menambah besar arus pada keluarannya daripada arus normal pada gerbang regulernya.

            Gambar 3.7 Pembalik ganda berfungsi sebagai buffer

2.4. Gerbang NAND

            Gerbang AND, OR, dan NOT merupakan tiga rangkaian dasar yang dapat menghasilkan semua rangkain digital. Gerbang NAND merupakan gabungan gerbang AND dan NOT, yang menghasilkan fungsi AND yang dibalik.

Gambar 3.8 Gerbang AND yang diseri dengan NOT menghasilkan NAND

Perhatikan bahwa bentuk simbol gerbang NAND mirip AND, hanya ditambah bulatan bagian output sebagai tanda inverter atau NOT.

INPUT		OUTPUT
B	A	AND	NAND
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Gambar 3.9Tabel kebenaran gerbangAND dan  NAND

2.5 Gerbang NOR

Gerbang NOR sebenarnya merupakangerbang NOT OR, yaitu keluaran suatu gerbang OR yang dibalik.

INPUT		OUTPUT
B	A	OR	NOR
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

Gambar 3.9 Simbol gerbang NOR serta tabel kebenaran gerbang OR dan NOR.

2.6 Gerbang Eksklusif

2.6.1 Gerbang OR Eksklusif

            Gerbang OR eksklusif kadang kadang disebut sebagai “gerbang setiap tetapi tidak semua”, dan biasa disingkat XOR. Ekspresi Boolean untuk fungsi XOR:

INPUT		OUTPUT
B	A	OR	XOR
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0

Gb.3.10  Simbol logika dan tabel kebenaran gerbang XOR

3.6.2 Gerbang NOR Eksklusif

            Gerbang NOR eksklusif biasa disingkat XNOR, dengan simbol logika dan tabel kebenaran:

INPUT		OUTPUT
B	A	NOR	XNOR
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	0	1

Gambar 3.12 Simbol logika, ekspresi Boolean, dan tabel kebenaran XNOR

2.7 Gerbang NAND sebagai gerbang universal

            Gerbang NAND lebih banyak dijumpai dipasaran dan harganya jauh lebih murah dari gerbang lainnya. Gerbang NAND memiliki keunggulan karena dapat digunakan untuk membentuk gerbang-gerbang lainnya, karenanya disebut sebagai gerbang universal.

Fungsi logika	Simbol	Gerbang dari NAND
Inverter
AND
OR
NOR
XOR
XNOR

           

            Gambar 3. 13 Gerbang logika menggunakan gerbang NAND

2.8 Gerbang logika dengan masukan lebih dari dua

            Gerbang logika yang telah kita bicarakan meliputi satu dan dua input dengan satu output. Bagaimana gerbang logika yang memiliki input lebih dari dua? Gerbang ligika dengan input lebih dari dua dapat diperoleh dengan mengkombinasikan gerbang logika dengan dua input.

Gambar 3.14 Pengembangan jumlah input

2.9. Penggunaan Pembalik untuk Mengubah Gerbang

            Gerbang dasar seperti AND, OR, NAND, atau NOR sering kali perlu diubah menjadi fungsi logika lainnya. Hal ini dapat dilakukan dengan mudah dengan menggunakan pembalik.

1) Pembalik pada keluaran                                       2) Pembalik pada masukan